> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/es/especifico-de-un-campo/01-theorems-and-proofs.md). # Teoremas y demostraciones ## Introducción Los documentos matemáticos incluyen elementos que requieren formato y numeración especiales, como teoremas, definiciones, proposiciones, observaciones, corolarios, lemas, etc. Este artículo explica cómo definir estos entornos en LaTeX. Los entornos numerados en LaTeX pueden definirse mediante el comando `\newtheorem` que toma dos argumentos: ```latex \newtheorem{theorem}{Teorema} ``` * el primero es el nombre del entorno que se define * el segundo es la palabra que se imprimirá, en negrita, al comienzo del entorno. Una vez que se define este nuevo entorno, puede utilizarse normalmente dentro del documento, delimitado por `\begin{theorem}` y `\end{theorem}`. A continuación se presenta un ejemplo: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Teorema} \begin{document} \section{Introducción} Los teoremas se pueden definir fácilmente: \begin{theorem} Sea \(f\) una función cuya derivada existe en cada punto, entonces \(f\) es una función continua. \end{theorem} \end{document} ``` [Abra este ejemplo en Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este ejemplo produce la siguiente salida: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/add6fa6f6037ed7bd343484ce562854f5afc0e83) ## Teoremas, definiciones, corolarios y lemas numerados La numeración de los entornos puede controlarse mediante dos parámetros adicionales en el `\newtheorem` comando. Veamos: ```latex \newtheorem{theorem}{Teorema}[section] \newtheorem{corollary}{Corolario}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lema} \begin{document} \section{Introducción} Los teoremas se pueden definir fácilmente: \begin{theorem} Sea \(f\) una función cuya derivada existe en cada punto, entonces \(f\) es una función continua. \end{theorem} \begin{theorem}[Teorema de Pitágoras] \label{pythagorean} Este es un teorema sobre triángulos rectángulos y puede resumirse en la siguiente equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} Y una consecuencia del teorema \ref{pythagorean} es la afirmación del siguiente corolario. \begin{corollary} No existe ningún rectángulo recto cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 6 cm. \end{corollary} Puede hacer referencia a teoremas como \ref{pythagorean} cuando se asigna una etiqueta. \begin{lemma} Dados dos segmentos de recta cuyas longitudes son \(a\) y \(b\), respectivamente, existe un número real \(r\) tal que \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Abra este ejemplo en Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este ejemplo produce la siguiente salida: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/d7edccc040de8e7791364485b19c3f9718fa7ced) Hay tres nuevos entornos definidos en el preámbulo. **\newtheorem{theorem}{Teorema}\[section]** Este es el ejemplo presentado en la introducción, pero tiene el parámetro adicional \[section] que reinicia el contador de teoremas en cada nueva sección. **\newtheorem{corollary}{Corolario}\[theorem]** Se crea un entorno llamado corollary, el contador de este nuevo entorno se reiniciará cada vez que se utilice un nuevo entorno theorem. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lema}** En este caso, aunque se crea un nuevo entorno llamado lemma, utilizará el mismo contador que el entorno theorem. Algunos teoremas famosos tienen sus propios nombres; en estos casos puede añadir dicho nombre entre corchetes en el comando de apertura del entorno. En el ejemplo, la línea `\begin{theorem}[Teorema de Pitágoras]` imprime "Teorema de Pitágoras" al comienzo del párrafo. Como con muchos otros elementos numerados en LaTeX, el comando `\label` puede usarse para hacer referencia a entornos tipo teorema dentro del documento. ## Entornos tipo teorema sin numeración Puede ser útil tener un entorno tipo teorema sin numeración para añadir observaciones, comentarios o ejemplos a un documento matemático. El `amsthm` paquete proporciona esta funcionalidad. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Observación} \begin{document} También son posibles los entornos tipo teorema sin numeración. \begin{remark} Creo que esta afirmación es verdadera. \end{remark} \end{document} ``` [Abra este ejemplo en Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este ejemplo produce la siguiente salida: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/63ed8fd5f1f1ec34ae9dfd03a80a9e7430ab3519) La sintaxis del comando `\newtheorem*` es la misma que la de la versión sin asterisco, excepto por los parámetros del contador. En este ejemplo se crea un nuevo entorno sin numeración llamado `remark` . ## Estilos de teorema Una característica importante al trabajar en un documento matemático es poder distinguir fácilmente, por ejemplo, definiciones de teoremas por su formato. El paquete `amsthm` proporciona comandos especiales para lograrlo. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definición}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Observación} \begin{document} \section{Introducción} También son posibles los entornos tipo teorema sin numeración. \begin{remark} Creo que esta afirmación es verdadera. \end{remark} Y la siguiente es una definición algo informal \begin{definition}[Fibración] Una fibración es una aplicación entre dos espacios topológicos que tiene la propiedad de levantamiento de homotopías para todo espacio \(X\). \end{definition} \end{document} ``` [Abra este ejemplo en Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este ejemplo produce la siguiente salida: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/2a40f813cc9c9f5c9fa25cd0109d75a36f0daf6b) El comando `\theoremstyle{ }` establece el estilo del entorno numerado definido justo debajo. En el ejemplo anterior se usan los estilos *remark* y *definition* y remark. Observe que la observación ahora está en cursiva y el texto del entorno usa tipografía normal (romana); la definición, por otro lado, también usa tipografía romana para el texto, pero la palabra «Definición» se imprime en negrita. Vea el [guía de referencia](#reference-guide) para más estilos de teorema. ## Demostraciones Las demostraciones son el núcleo de los artículos y libros matemáticos y es habitual mantenerlas visualmente separadas del texto normal del documento. El `amsthm` paquete proporciona el entorno `proof` para ello. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Teorema}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lema} \begin{document} \section{Introducción} \begin{lemma} Dados dos segmentos de recta cuyas longitudes son \(a\) y \(b\), respectivamente, existe un número real \(r\) tal que \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Para demostrarlo por contradicción, intente suponer que la afirmación es falsa, siga a partir de ahí y, en algún momento, llegará a una contradicción. \end{proof} \end{document} ``` [Abra este ejemplo en Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este ejemplo produce la siguiente salida: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/6c62c8aba8c939f7587514003d3bc48b54d44ea7) La palabra `Demostración` está en cursiva y hay un poco de espacio adicional; además, se utiliza un símbolo especial para marcar el final de la demostración. Este símbolo puede cambiarse fácilmente; para saber cómo, vea la siguiente sección. ## Cambiar el símbolo QED El símbolo que se imprime al final de una demostración se llama «símbolo QED». Para citar el [significado de QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) de Wikipedia: > QED es un inicialismo de la frase latina *quod erat demonstrandum*, que significa «así se ha demostrado» Es sencillo usar un símbolo, o una redacción, de su elección para representar el símbolo QED. El comando ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` puede utilizarse para reemplazar el cuadrado blanco predeterminado por un cuadrado negro impreso por `$\blacksquare$`, el parámetro dentro de las llaves. O bien, puede escribir la palabra QED explícitamente: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Aquí tiene un ejemplo para demostrar ambas opciones: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Teorema}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lema} \begin{document} \section{Introducción} \begin{lemma} Dados dos segmentos de recta cuyas longitudes son \(a\) y \(b\), respectivamente, existe un número real \(r\) tal que \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Para demostrarlo por contradicción, intente suponer que la afirmación es falsa, siga a partir de ahí y, en algún momento, llegará a una contradicción. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Para demostrarlo por contradicción, intente suponer que la afirmación es falsa, siga a partir de ahí y, en algún momento, llegará a una contradicción. \end{proof} \end{document} ``` [Abra este ejemplo en Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este ejemplo produce la siguiente salida: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/adf8e7d43fd6092e75ea8b5916320e88ac4c88be) ## Guía de referencia ***Estilos de teorema*** * `definition` título en negrita, cuerpo en redonda. Se usa comúnmente en definiciones, condiciones, problemas y ejemplos. * `plain` título en negrita, cuerpo en cursiva. Se usa comúnmente en teoremas, lemas, corolarios, proposiciones y conjeturas. * `remark` título en cursiva, cuerpo en redonda. Se usa comúnmente en observaciones, notas, anotaciones, afirmaciones, casos, agradecimientos y conclusiones. ## Lectura adicional Para más información, consulte: * [Expresiones matemáticas](/latex/es/matematicas/01-mathematical-expressions.md) * [Entornos](/latex/es/comandos/02-environments.md) * [Estilo de visualización en modo matemático](/latex/es/matematicas/10-display-style-in-math-mode.md) * [Lista de letras griegas y símbolos matemáticos](/latex/es/matematicas/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Fuentes matemáticas](/latex/es/matematicas/12-mathematical-fonts.md) * [Proyectos de LaTeX de varios archivos](/latex/es/estructura-del-documento/08-multi-file-latex-projects.md) * [Referencias cruzadas a secciones y ecuaciones](/latex/es/estructura-del-documento/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hipervínculos](/latex/es/estructura-del-documento/09-hyperlinks.md) * [El **amsthm** documentación del paquete](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/es/especifico-de-un-campo/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.