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# Teoremas e demonstrações

## Introdução

Documentos matemáticos incluem elementos que exigem formatação e numeração especiais, como teoremas, definições, proposições, observações, corolários, lemas e assim por diante. Este artigo explica como definir esses ambientes em LaTeX.

Os ambientes numerados em LaTeX podem ser definidos por meio do comando `\newtheorem` que recebe dois argumentos:

```latex
\newtheorem{theorem}{Teorema}
```

* o primeiro é o nome do ambiente que é definido
* o segundo é a palavra que será impressa, em negrito, no início do ambiente.

Uma vez que este novo ambiente é definido, ele pode ser usado normalmente dentro do documento, delimitado por `\begin{theorem}` e `\end{theorem}`. Um exemplo é apresentado abaixo:

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Teorema}
\begin{document}

\section{Introdução}
Teoremas podem ser facilmente definidos:

\begin{theorem}
Se \(f\) é uma função cuja derivada existe em todo ponto, então \(f\)
é uma função contínua.
\end{theorem}
\end{document}
```

[Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Este exemplo produz a seguinte saída:

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/ec62d1758d7b65d89f4af6e2537480fb0a3140f7)

## Teoremas, definições, corolários e lemas numerados

A numeração dos ambientes pode ser controlada por meio de dois parâmetros adicionais no `\newtheorem` comando. Vejamos:

```latex
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{corollary}{Corolário}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}

\begin{document}
\section{Introdução}
Teoremas podem ser facilmente definidos:

\begin{theorem}
Se \(f\) é uma função cuja derivada existe em todo ponto, então \(f\) é
uma função contínua.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Teorema de Pitágoras]
\label{pythagorean}
Este é um teorema sobre triângulos retângulos e pode ser resumido na seguinte
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

E uma consequência do teorema \ref{pythagorean} é a afirmação no seguinte
corolário.

\begin{corollary}
Não existe um triângulo retângulo cujos lados meçam 3 cm, 4 cm e 6 cm.
\end{corollary}

Você pode fazer referência a teoremas como \ref{pythagorean} quando uma etiqueta é atribuída.

\begin{lemma}
Dados dois segmentos de reta cujos comprimentos são \(a\) e \(b\), respectivamente, existe um
número real \(r\) tal que \(b=ra\).
\end{lemma}
```

[Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Este exemplo produz a seguinte saída:

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/ca5e208ab64a0ab2124839ee2507c608e3ccff7a)

Há três novos ambientes definidos no preâmbulo.

**\newtheorem{theorem}{Teorema}\[section]**

Este é o exemplo apresentado na introdução, mas ele tem o parâmetro adicional \[section], que reinicia o contador de teoremas em cada nova seção.

**\newtheorem{corollary}{Corolário}\[theorem]**

Um ambiente chamado corollary é criado; o contador deste novo ambiente será reiniciado toda vez que um novo ambiente theorem for usado.

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lema}**

Neste caso, embora um novo ambiente chamado lemma seja criado, ele usará o mesmo contador que o ambiente theorem.

Alguns teoremas famosos têm seus próprios nomes; nesses casos, você pode acrescentar esse nome entre colchetes no comando de abertura do ambiente. No exemplo, a linha `\begin{theorem}[Teorema de Pitágoras]` imprime "Teorema de Pitágoras" no início do parágrafo.

Assim como muitos outros elementos numerados em LaTeX, o comando `\label` pode ser usado para fazer referência a ambientes semelhantes a teoremas dentro do documento.

## Ambientes semelhantes a teoremas sem numeração

Pode ser útil ter um ambiente semelhante a teorema sem numeração para adicionar observações, comentários ou exemplos a um documento matemático. O `amsthm` pacote fornece essa funcionalidade.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Observação}

\begin{document}
Ambientes semelhantes a teoremas sem numeração também são possíveis.

\begin{remark}
Esta afirmação é verdadeira, eu acho.
\end{remark}
\end{document}
```

[Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Este exemplo produz a seguinte saída:

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/342eb0e43c0c0f643a5e01159cbd8a9ed07324a8)

A sintaxe do comando `\newtheorem*` é a mesma da versão sem asterisco, exceto pelos parâmetros do contador. Neste exemplo, é criado um novo ambiente sem numeração chamado `remark` .

## Estilos de teorema

Uma característica importante ao trabalhar em um documento matemático é distinguir facilmente, por exemplo, definições de teoremas pela sua formatação. O pacote `amsthm` fornece comandos especiais para fazer isso.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definição}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Observação}

\begin{document}
\section{Introdução}
Ambientes semelhantes a teoremas sem numeração também são possíveis.

\begin{remark}
Esta afirmação é verdadeira, eu acho.
\end{remark}

E a seguinte é uma definição um tanto informal

\begin{definition}[Fibration]
Uma fibragem é um mapeamento entre dois espaços topológicos que possui a propriedade de levantamento de homotopia para todo espaço \(X\).
\end{definition}
\end{document}
```

[Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Este exemplo produz a seguinte saída:

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/e6c2bf9c95bb4b1bcdd12ca4620632d80abbbc2b)

O comando `\theoremstyle{ }` define o estilo do ambiente numerado definido logo abaixo. No exemplo acima, os estilos *remark* e *definition* são usados. Observe que a observação agora está em itálico e o texto no ambiente usa uma fonte normal (romana); a definição, por outro lado, também usa fonte romana para o texto no interior, mas a palavra "Definition" é impressa em negrito.

Veja o [guia de referência](#reference-guide) para mais estilos de teorema.

## Provas

As provas são o núcleo dos trabalhos e livros matemáticos, e é costume mantê-las visualmente separadas do texto normal no documento. O `amsthm` pacote fornece o ambiente `proof` para isso.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}

\begin{document}
\section{Introdução}
\begin{lemma}
Dados dois segmentos de reta cujos comprimentos são \(a\) e \(b\), respectivamente, existe um
número real \(r\) tal que \(b=ra\).
\end{lemma}

\begin{proof}
Para prová-lo por contradição, tente assumir que a afirmação é falsa,
avance a partir daí e, em algum momento, você chegará a uma contradição.
\end{proof}
\end{document}
```

[Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Este exemplo produz a seguinte saída:

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/caee298518065863d96dbf02abc765b3b188f24b)

A palavra `Proof` está em itálico e há algum espaçamento extra; além disso, um símbolo especial é usado para marcar o fim da prova. Esse símbolo pode ser facilmente alterado; para saber como, veja a próxima seção.

## Alterando o símbolo QED

O símbolo impresso no final de uma prova é chamado de “símbolo QED”. Para citar o [significado de QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) da Wikipédia:

> QED é uma sigla da expressão latina *quod erat demonstrandum*, que significa “assim foi demonstrado”

É simples usar um símbolo, ou texto, de sua escolha para representar o símbolo QED. O comando

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

pode ser usado para substituir o quadrado branco padrão por um quadrado preto impresso por `$\blacksquare$`, o parâmetro dentro das chaves. Ou, você pode escrever a palavra QED explicitamente:

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

Aqui está um exemplo para demonstrar ambas as opções:

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}

\begin{document}
\section{Introdução}

\begin{lemma}
Dados dois segmentos de reta cujos comprimentos são \(a\) e \(b\), respectivamente, existe um
número real \(r\) tal que \(b=ra\).
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
Para prová-lo por contradição, tente assumir que a afirmação é falsa,
avance a partir daí e, em algum momento, você chegará a uma contradição.
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
Para prová-lo por contradição, tente assumir que a afirmação é falsa,
avance a partir daí e, em algum momento, você chegará a uma contradição.
\end{proof}
\end{document}
```

[Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Este exemplo produz a seguinte saída:

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/bd45e7b0b3e15b92e157888822c9c8d42dcece27)

## Guia de referência

***Estilos de teorema***

* `definition` título em negrito, corpo em fonte romana. Comumente usado em definições, condições, problemas e exemplos.
* `plain` título em negrito, corpo em itálico. Comumente usado em teoremas, lemas, corolários, proposições e conjecturas.
* `remark` título em itálico, corpo em fonte romana. Comumente usado em observações, notas, anotações, afirmações, casos, agradecimentos e conclusões.

## Leitura adicional

Para mais informações, consulta:

* [Expressões matemáticas](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/01-mathematical-expressions.md)
* [Ambientes](/latex/overleaf-learn-latex-pt/comandos/02-environments.md)
* [Estilo de destaque no modo matemático](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/10-display-style-in-math-mode.md)
* [Lista de letras gregas e símbolos matemáticos](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Fontes matemáticas](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/12-mathematical-fonts.md)
* [Projetos LaTeX com vários ficheiros](/latex/overleaf-learn-latex-pt/estrutura-do-documento/08-multi-file-latex-projects.md)
* [Referência cruzada de secções e equações](/latex/overleaf-learn-latex-pt/estrutura-do-documento/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [Hiperligações](/latex/overleaf-learn-latex-pt/estrutura-do-documento/09-hyperlinks.md)
* [O **amsthm** documentação do pacote](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


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