> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/specializirovannye/01-theorems-and-proofs.md).

# Теоремы и доказательства

## Введение

Математические документы включают элементы, требующие специального форматирования и нумерации, такие как теоремы, определения, предложения, замечания, следствия, леммы и так далее. В этой статье объясняется, как определять эти окружения в LaTeX.

Нумерованные окружения в LaTeX можно определить с помощью команды `\newtheorem` которая принимает два аргумента:

```latex
\newtheorem{theorem}{Теорема}
```

* первый — это имя определяемого окружения
* второй — это слово, которое будет напечатано жирным шрифтом в начале окружения.

После того как это новое окружение определено, его можно нормально использовать в документе, ограничивая его `\begin{theorem}` и `\end{theorem}`. Ниже приведён пример:

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\begin{document}

\section{Introduction}
Теоремы можно легко определять:

\begin{theorem}
Пусть \(f\) — функция, производная которой существует в каждой точке, тогда \(f\)
— непрерывная функция.
\end{theorem}
\end{document}
```

[Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Этот пример выдаёт следующий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/c5ccaf0e9f9fef4cf645139d73ba7a160118ca1d)

## Нумерованные теоремы, определения, следствия и леммы

Нумерацию окружений можно контролировать с помощью двух дополнительных параметров в `\newtheorem` команде. Давайте посмотрим:

```latex
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}

\begin{document}
\section{Introduction}
Теоремы можно легко определять:

\begin{theorem}
Пусть \(f\) — функция, производная которой существует в каждой точке, тогда \(f\)
— непрерывная функция.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Теорема Пифагора]
\label{pythagorean}
Это теорема о прямоугольных треугольниках, и её можно кратко записать в виде следующего
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

А следствием теоремы \ref{pythagorean} является утверждение в следующем
следствии.

\begin{corollary}
Не существует прямоугольника, у которого стороны имеют длины 3 см, 4 см и 6 см.
\end{corollary}

На теоремы, такие как \ref{pythagorean}, можно ссылаться, когда задана метка.

\begin{lemma}
Для двух отрезков, длины которых равны соответственно \(a\) и \(b\), существует
вещественное число \(r\), такое что \(b=ra\).
\end{lemma}
```

[Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Этот пример выдаёт следующий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/e9fd8c9cd1b110247e40831d3443b40231ad93a7)

В преамбуле определены три новых окружения.

**\newtheorem{theorem}{Теорема}\[section]**

Это пример, представленный во введении, но с дополнительным параметром \[section], который сбрасывает счётчик теорем при каждом новом разделе.

**\newtheorem{corollary}{Следствие}\[theorem]**

Создаётся окружение под названием corollary; счётчик этого нового окружения будет сбрасываться каждый раз при использовании нового окружения theorem.

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Лемма}**

В этом случае, хотя создаётся новое окружение под названием lemma, оно будет использовать тот же счётчик, что и окружение theorem.

Некоторые известные теоремы имеют собственные названия; в таких случаях вы можете добавить это название в квадратных скобках в команде открытия окружения. В примере строка `\begin{theorem}[Теорема Пифагора]` печатает "Теорема Пифагора" в начале абзаца.

Как и для многих других нумеруемых элементов в LaTeX, команда `\label` может использоваться для ссылок на окружения, подобные теоремам, внутри документа.

## Ненумерованные окружения, подобные теоремам

Может быть полезно иметь ненумерованное окружение, подобное теореме, чтобы добавлять замечания, комментарии или примеры в математический документ. Пакет `amsthm` предоставляет эту функциональность.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Замечание}

\begin{document}
Ненумерованные окружения, подобные теоремам, также возможны.

\begin{remark}
Это утверждение, я полагаю, верно.
\end{remark}
\end{document}
```

[Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Этот пример выдаёт следующий результат:

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/77a035225e60834464ed49093677641cc6f212c4)

Синтаксис команды `\newtheorem*` такой же, как у версии без звёздочки, за исключением параметров счётчика. В этом примере создаётся новое ненумерованное окружение под названием `remark` .

## Стили теорем

Важная особенность при работе с математическим документом — это возможность легко отличать, например, определения от теорем по их форматированию. Пакет `amsthm` предоставляет специальные команды для этого.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Замечание}

\begin{document}
\section{Introduction}
Ненумерованные окружения, подобные теоремам, также возможны.

\begin{remark}
Это утверждение, я полагаю, верно.
\end{remark}

А дальше идёт несколько неформальное определение

\begin{definition}[Расслоение]
Расслоение — это отображение между двумя топологическими пространствами, обладающее свойством поднятия гомотопии для любого пространства \(X\).
\end{definition}
\end{document}
```

[Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Этот пример выдаёт следующий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/874956b3283aed7e8afacaf22087df9f6e1a3201)

Команда `\theoremstyle{ }` задаёт стиль для нумерованного окружения, определённого прямо ниже. В приведённом выше примере используются стили *remark* и *определение* Обратите внимание, что замечание теперь набрано курсивом, а текст в окружении использует обычный (римский) шрифт; определение же, напротив, также использует римский шрифт для текста внутри, но слово "Определение" печатается жирным шрифтом.

См. [справочное руководство](#reference-guide) для получения дополнительных стилей теорем.

## Доказательства

Доказательства — это ядро математических статей и книг, и принято визуально отделять их от обычного текста в документе. Пакет `amsthm` предоставляет окружение `proof` для этого.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}

\begin{document}
\section{Introduction}
\begin{lemma}
Для двух отрезков, длины которых равны соответственно \(a\) и \(b\),
существует вещественное число \(r\), такое что \(b=ra\).
\end{lemma}

\begin{proof}
Чтобы доказать это методом от противного, попробуйте предположить, что утверждение ложно,
продолжайте рассуждение, и в какой-то момент вы придёте к противоречию.
\end{proof}
\end{document}
```

[Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Этот пример выдаёт следующий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/da83a802e2bffa64879ccb8f26a90c65b378ec66)

Слово `Доказательство` набирается курсивом, и добавляется немного дополнительного интервала; также для обозначения конца доказательства используется специальный символ. Этот символ можно легко изменить; чтобы узнать как, см. следующий раздел.

## Изменение символа QED

Символ, печатаемый в конце доказательства, называется «символом QED». Если процитировать [значение QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) из Wikipedia:

> QED — это аббревиатура латинской фразы *quod erat demonstrandum*, означающей «что и требовалось доказать»

Очень просто использовать символ или надпись по вашему выбору для обозначения символа QED. Команда

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

может использоваться для замены стандартного белого квадрата на чёрный квадрат, печатаемый `$\blacksquare$`, параметром внутри фигурных скобок. Или же можно явно написать слово QED:

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

Вот пример, демонстрирующий оба варианта:

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}

\begin{document}
\section{Introduction}

\begin{lemma}
Для двух отрезков, длины которых равны соответственно \(a\) и \(b\),
существует вещественное число \(r\), такое что \(b=ra\).
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
Чтобы доказать это методом от противного, попробуйте предположить, что утверждение ложно,
продолжайте рассуждение, и в какой-то момент вы придёте к противоречию.
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
Чтобы доказать это методом от противного, попробуйте предположить, что утверждение ложно,
продолжайте рассуждение, и в какой-то момент вы придёте к противоречию.
\end{proof}
\end{document}
```

[Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Этот пример выдаёт следующий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/a41e728847847802fcba21b569f64f9ccb8d381c)

## справочнике

***Стили теорем***

* `определение` жирный заголовок, основной текст римским шрифтом. Обычно используется в определениях, условиях, задачах и примерах.
* `plain` жирный заголовок, курсивный основной текст. Обычно используется в теоремах, леммах, следствиях, предложениях и гипотезах.
* `remark` курсивный заголовок, основной текст римским шрифтом. Обычно используется в замечаниях, примечаниях, аннотациях, утверждениях, случаях, благодарностях и выводах.

## Дополнительное чтение

Для получения дополнительной информации см.:

* [Математические выражения](/latex/ru/matematika/01-mathematical-expressions.md)
* [Окружения](/latex/ru/komandy/02-environments.md)
* [Стиль отображения в математическом режиме](/latex/ru/matematika/10-display-style-in-math-mode.md)
* [Список греческих букв и математических символов](/latex/ru/matematika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Математические шрифты](/latex/ru/matematika/12-mathematical-fonts.md)
* [Многофайловые проекты LaTeX](/latex/ru/struktura-dokumenta/08-multi-file-latex-projects.md)
* [Перекрёстные ссылки на разделы и уравнения](/latex/ru/struktura-dokumenta/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [Гиперссылки](/latex/ru/struktura-dokumenta/09-hyperlinks.md)
* [Это **amsthm** документация пакета](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


---

# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.

## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:

```
GET https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/specializirovannye/01-theorems-and-proofs.md?ask=<question>&goal=<endgoal>
```

`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.

The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.