> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/specializovani/01-theorems-and-proofs.md).

# Теореми та докази

## Вступ

Математичні документи містять елементи, які потребують особливого форматування та нумерації, такі як теореми, означення, твердження, зауваження, короларії, леми тощо. У цій статті пояснюється, як визначати ці середовища в LaTeX.

Нумеровані середовища в LaTeX можна визначати за допомогою команди `\newtheorem` яка приймає два аргументи:

```latex
\newtheorem{theorem}{Theorem}
```

* перший — це назва середовища, яке визначається
* другий — це слово, яке буде надруковано жирним шрифтом на початку середовища.

Після того як це нове середовище визначено, його можна нормально використовувати в документі, обмежуючи `\begin{theorem}` та `\end{theorem}`. Нижче наведено приклад:

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\begin{document}

\section{Вступ}
Теореми можна легко визначати:

\begin{theorem}
Нехай \(f\) — функція, похідна якої існує в кожній точці, тоді \(f\)
є неперервною функцією.
\end{theorem}
\end{document}
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей приклад дає такий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/353765c68de8909422d086f7ac0682a798e99770)

## Нумеровані теореми, означення, короларії та леми

Нумерацію середовищ можна керувати за допомогою двох додаткових параметрів у `\newtheorem` команді. Подивімося:

```latex
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{Вступ}
Теореми можна легко визначати:

\begin{theorem}
Нехай \(f\) — функція, похідна якої існує в кожній точці, тоді \(f\) є
неперервною функцією.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Pythagorean theorem]
\label{pythagorean}
Це теорема про прямокутні трикутники, і її можна підсумувати в наступній
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

А наслідком теореми \ref{pythagorean} є твердження в наступному
короларії.

\begin{corollary}
Не існує прямокутника зі сторонами 3 см, 4 см і 6 см.
\end{corollary}

Ви можете посилатися на теореми на кшталт \ref{pythagorean}, коли призначено мітку.

\begin{lemma}
Нехай задано два відрізки, довжини яких дорівнюють \(a\) та \(b\) відповідно, тоді існує
дійсне число \(r\) таке, що \(b=ra\).
\end{lemma}
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей приклад дає такий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/584c217a16a1cd1c342d24fa2e61b37839e0faa8)

У преамбулі визначено три нові середовища.

**\newtheorem{theorem}{Theorem}\[section]**

Це приклад, наведений у вступі, але він має додатковий параметр \[section], який скидає лічильник теорем на початку кожного нового розділу.

**\newtheorem{corollary}{Corollary}\[theorem]**

Створюється середовище під назвою corollary, лічильник цього нового середовища буде скидатися щоразу, коли використовується нове середовище theorem.

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}**

У цьому випадку, хоча створюється нове середовище під назвою lemma, воно використовуватиме той самий лічильник, що й середовище theorem.

Деякі відомі теореми мають власні назви, для таких випадків можна додати цю назву в дужках у команді відкриття середовища. У прикладі рядок `\begin{theorem}[Pythagorean theorem]` друкує «Pythagorean theorem» на початку абзацу.

Як і для багатьох інших нумерованих елементів у LaTeX, команду `\label` можна використовувати для посилання на середовища типу теорем у документі.

## Ненумеровані середовища типу теорем

Може бути корисним мати ненумероване середовище типу теореми, щоб додавати зауваження, коментарі або приклади до математичного документа. Пакет `amsthm` надає цю функціональність.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Remark}

\begin{document}
Також можливі ненумеровані середовища типу теорем.

\begin{remark}
Я гадаю, це твердження є правильним.
\end{remark}
\end{document}
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей приклад дає такий результат:

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/37381f6f1c8dc52b335b4dbb943b9f76f724e372)

Синтаксис команди `\newtheorem*` такий самий, як і у версії без зірочки, за винятком параметрів лічильника. У цьому прикладі створюється нове ненумероване середовище під назвою `remark` .

## Стилі теорем

Важливою можливістю під час роботи з математичним документом є легке розрізнення, скажімо, означень і теорем за їхнім форматуванням. Пакет `amsthm` надає спеціальні команди для цього.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Означення}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Remark}

\begin{document}
\section{Вступ}
Також можливі ненумеровані середовища типу теорем.

\begin{remark}
Я гадаю, це твердження є правильним.
\end{remark}

А далі наведено дещо неформальне означення

\begin{definition}[Fibration]
Фібрaція — це відображення між двома топологічними просторами, яке має властивість підняття гомотопії для кожного простору \(X\).
\end{definition}
\end{document}
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей приклад дає такий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/53a6e72e0e1b36637785fd1fb7c6b19ad318e3d9)

Команда `\theoremstyle{ }` встановлює стиль для нумерованого середовища, визначеного безпосередньо нижче. У наведеному вище прикладі використовуються стилі *remark* та *definition* . Зверніть увагу, що зауваження тепер виділене курсивом, а текст у середовищі використовує звичайний (римський) шрифт; натомість означення також використовує римський шрифт для тексту всередині, але слово «Definition» друкується жирним шрифтом.

Дивіться [довідковий посібник](#reference-guide) для отримання додаткових стилів теорем.

## Докази

Докази є основою математичних статей і книжок, і прийнято візуально відокремлювати їх від звичайного тексту в документі. Пакет `amsthm` надає середовище `proof` для цього.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{Вступ}
\begin{lemma}
Нехай задано два відрізки, довжини яких дорівнюють \(a\) та \(b\) відповідно, тоді
існує дійсне число \(r\) таке, що \(b=ra\).
\end{lemma}

\begin{proof}
Щоб довести це методом суперечності, спробуйте припустити, що твердження хибне,
далі рухайтеся звідти, і в якийсь момент ви дійдете до суперечності.
\end{proof}
\end{document}
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей приклад дає такий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/a575619401d1ec7118f3c7be869cca4ab41b486e)

Слово `Proof` виділено курсивом і є деякий додатковий інтервал; також використовується спеціальний символ для позначення завершення доказу. Цей символ можна легко змінити; щоб дізнатися як, дивіться наступний розділ.

## Зміна символу QED

Символ, який друкується в кінці доказу, називається «символом QED». Якщо цитувати [значення QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) з Вікіпедії:

> QED — це абревіатура латинської фрази *quod erat demonstrandum*, що означає «так і було доведено»

Дуже просто використати символ або формулювання на ваш вибір для позначення символу QED. Команду

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

можна використати, щоб замінити стандартний білий квадратик на чорний квадрат, який друкується за допомогою `$\blacksquare$`, параметра в фігурних дужках. Або ж можна явно написати слово QED:

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

Ось приклад, що демонструє обидва варіанти:

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{Вступ}

\begin{lemma}
Нехай задано два відрізки, довжини яких дорівнюють \(a\) та \(b\) відповідно, тоді
існує дійсне число \(r\) таке, що \(b=ra\).
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
Щоб довести це методом суперечності, спробуйте припустити, що твердження хибне,
далі рухайтеся звідти, і в якийсь момент ви дійдете до суперечності.
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
Щоб довести це методом суперечності, спробуйте припустити, що твердження хибне,
далі рухайтеся звідти, і в якийсь момент ви дійдете до суперечності.
\end{proof}
\end{document}
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей приклад дає такий результат:

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/0381d81cc88b7ba5d11d712d4080df493a495db7)

## Довідковий посібник

***Стилі теорем***

* `definition` жирний заголовок, римський текст. Зазвичай використовується в означеннях, умовах, задачах і прикладах.
* `plain` жирний заголовок, курсивний текст. Зазвичай використовується в теоремах, лемах, короларіях, твердженнях і гіпотезах.
* `remark` курсивний заголовок, римський текст. Зазвичай використовується в зауваженнях, примітках, анотаціях, твердженнях, випадках, подяках і висновках.

## Додаткове читання

Докладніше див.:

* [Математичні вирази](/latex/uk/matematika/01-mathematical-expressions.md)
* [Середовища](/latex/uk/komandi/02-environments.md)
* [Стиль відображення в математичному режимі](/latex/uk/matematika/10-display-style-in-math-mode.md)
* [Список грецьких літер і математичних символів](/latex/uk/matematika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Математичні шрифти](/latex/uk/matematika/12-mathematical-fonts.md)
* [Багатофайлові проєкти LaTeX](/latex/uk/struktura-dokumenta/08-multi-file-latex-projects.md)
* [Перехресні посилання на розділи та рівняння](/latex/uk/struktura-dokumenta/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [Гіперпосилання](/latex/uk/struktura-dokumenta/09-hyperlinks.md)
* [Функція **amsthm** документація пакета](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


---

# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.

## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:

```
GET https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/specializovani/01-theorems-and-proofs.md?ask=<question>&goal=<endgoal>
```

`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.

The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.