> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/zh-cn/te-ding-ling-yu/01-theorems-and-proofs.md). # 定理和证明 ## 引言 数学文档包含一些需要特殊格式和编号的元素，例如定理、定义、命题、备注、推论、引理等等。本文将说明如何在 LaTeX 中定义这些环境。 LaTeX 中的编号环境可以通过命令来定义 `\newtheorem` 它接受两个参数： ```latex \newtheorem{theorem}{Theorem} ``` * 第一个是所定义环境的名称 * 第二个是在环境开头以粗体打印的词。 一旦定义了这个新环境，就可以在文档中正常使用，并由以下内容分隔： `\begin{theorem}` 和 `\end{theorem}`。下面给出一个示例： ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Theorem} \begin{document} \section{Introduction} 定理可以很容易地定义： \begin{theorem} 设 \(f\) 为一个在每一点都存在导数的函数，那么 \(f\) 是一个连续函数。 \end{theorem} \end{document} ``` [在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) 此示例生成如下输出： ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/7124066474066dd26e04732b37cef936ecceb8c8) ## 带编号的定理、定义、推论和引理 这些环境的编号可以通过在 `\newtheorem` 命令中加入两个附加参数来控制。让我们看看： ```latex \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} 定理可以很容易地定义： \begin{theorem} 设 \(f\) 为一个在每一点都存在导数的函数，那么 \(f\) 是 一个连续函数。 \end{theorem} \begin{theorem}[Pythagorean theorem] \label{pythagorean} 这是一个关于直角三角形的定理，可以概括为下面的 equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} 而定理 \ref{pythagorean} 的一个推论就是下面的陈述 推论。 \begin{corollary} 不存在边长分别为 3cm、4cm 和 6cm 的直角矩形。 \end{corollary} 当为定理添加标签时，你可以引用诸如 \ref{pythagorean} 这样的定理。 \begin{lemma} 给定两条线段，其长度分别为 \(a\) 和 \(b\)，则存在一个 实数 \(r\)，使得 \(b=ra\)。 \end{lemma} ``` [在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) 此示例生成如下输出： ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/50908ca79a2aefa944552cf77dd9470df71c4408) 导言区中定义了三个新环境。 **\newtheorem{theorem}{Theorem}\[section]** 这是引言中给出的示例，但它额外带有参数 \[section]，会在每个新节开始时重置定理计数器。 **\newtheorem{corollary}{Corollary}\[theorem]** 创建了一个名为 corollary 的环境，这个新环境的计数器会在每次使用新的 theorem 环境时重置。 **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** 在这种情况下，尽管创建了一个名为 lemma 的新环境，它将使用与 theorem 环境相同的计数器。 有些著名定理有自己的名称，对于这些情况，你可以在环境开启命令的方括号中添加该名称。在这个例子中，行 `\begin{theorem}[Pythagorean theorem]` 会在段落开头打印“Pythagorean theorem”。 与 LaTeX 中许多其他带编号的元素一样，命令 `\label` 可用于在文档中引用类似定理的环境。 ## 无编号的类似定理环境 在数学文档中，拥有一个无编号的类似定理环境来添加备注、评论或示例会很有用。 `amsthm` 宏包提供了这一功能。 ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Remark} \begin{document} 也可以使用无编号的类似定理环境。 \begin{remark} 我想这句话是真的。 \end{remark} \end{document} ``` [在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) 此示例生成如下输出： ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/38666a5008fe69d7fb1b3ea3b92f28cec51858ca) 命令 `\newtheorem*` 的语法与非星号版本相同，除了计数器参数之外。在这个例子中，创建了一个名为 `remark` 的新的无编号环境。 ## 定理样式 在处理数学文档时，一个重要的功能是能够通过格式轻松区分例如定义和定理。 `amsthm` 宏包提供了实现这一点的特殊命令。 ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Remark} \begin{document} \section{Introduction} 也可以使用无编号的类似定理环境。 \begin{remark} 我想这句话是真的。 \end{remark} 接下来是一个稍微不那么正式的定义 \begin{definition}[Fibration] 一个纤维化是两个拓扑空间之间的一个映射，它对每个空间 \(X\) 都具有同伦提升性质。 \end{definition} \end{document} ``` [在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) 此示例生成如下输出： ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/31cfa8a3e8d315855e877299f9d33482d7217779) 命令 `\theoremstyle{ }` 用于设置其下方定义的带编号环境的样式。在上面的例子中使用了样式 *remark* 和 *definition* 。请注意，备注现在是斜体，环境中的文本使用正常（罗马）字体；另一方面，定义中的文本也使用罗马字体，但“Definition”一词以粗体打印。 请参见 [参考指南](#reference-guide) 以了解更多定理样式。 ## 证明 证明是数学论文和书籍的核心，通常会在视觉上将其与文档中的普通文本区分开来。 `amsthm` 宏包提供了环境 `proof` 用于此目的。 ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} \begin{lemma} 给定两条线段，其长度分别为 \(a\) 和 \(b\)，则 存在一个实数 \(r\)，使得 \(b=ra\)。 \end{lemma} \begin{proof} 要用反证法证明它，可以先假设该命题为假， 然后继续推导，最终你会得到一个矛盾。 \end{proof} \end{document} ``` [在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) 此示例生成如下输出： ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/4eac4a421533b2c835f54a3f4562805c0cd7014f) 单词 `Proof` 是斜体，并且还会有一些额外间距，另外还使用了一个特殊符号来标记证明结束。这个符号很容易更改，要了解方法请看下一节。 ## 更改 QED 符号 在证明末尾打印的符号称为“QED 符号”。引用 [QED 的含义](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) 来自维基百科： > QED 是拉丁短语的首字母缩略词 *quod erat demonstrandum*，意思是“这就证明了” 很容易使用你选择的符号或措辞来表示 QED 符号。命令 ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` 可用于将默认的白方块替换为由 `$\blacksquare$`打印的黑方块，即花括号中的参数。或者，你也可以显式写出单词 QED： ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` 下面是一个示例，演示这两种选项： ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} \begin{lemma} 给定两条线段，其长度分别为 \(a\) 和 \(b\)，则 存在一个实数 \(r\)，使得 \(b=ra\)。 \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} 要用反证法证明它，可以先假设该命题为假， 然后继续推导，最终你会得到一个矛盾。 \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} 要用反证法证明它，可以先假设该命题为假， 然后继续推导，最终你会得到一个矛盾。 \end{proof} \end{document} ``` [在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) 此示例生成如下输出： ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/062819ca3d8285e32d4c0ff3a35e5c772df91220) ## 参考指南 ***定理样式*** * `definition` 粗体标题，正文为罗马体。常用于定义、条件、问题和示例。 * `plain` 粗体标题，正文为斜体。常用于定理、引理、推论、命题和猜想。 * `remark` 斜体标题，正文为罗马体。常用于备注、注释、标注、声明、情形、致谢和结论。 ## 进一步阅读 更多信息请参见： * [数学表达式](/latex/zh-cn/shu-xue/01-mathematical-expressions.md) * [环境](/latex/zh-cn/ming-ling/02-environments.md) * [数学模式中的显示样式](/latex/zh-cn/shu-xue/10-display-style-in-math-mode.md) * [希腊字母和数学符号列表](/latex/zh-cn/shu-xue/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [数学字体](/latex/zh-cn/shu-xue/12-mathematical-fonts.md) * [多文件 LaTeX 项目](/latex/zh-cn/wen-dang-jie-gou/08-multi-file-latex-projects.md) * [章节和公式交叉引用](/latex/zh-cn/wen-dang-jie-gou/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [超链接](/latex/zh-cn/wen-dang-jie-gou/09-hyperlinks.md) * [该 **amsthm** 包文档](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://ayakaleaf-pro.ayaka.space/latex/zh-cn/te-ding-ling-yu/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.